James Clerk Maxwell stellte 1864 seine berühmten 4 Gleichungen auf, um das elektromagnetische Feld zu beschreiben und konnte zeigen, das die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 1/√ε0μ0 beträgt.
Galileo Galiei hatte vorhergesagt, dass wenn wir uns auf einen Stern mit der Geschwindigkeit v zubewegen, eine Lichtgeschwindigkeit von c+v und wenn wir uns von ihm wegbewegen, eine Lichtgeschwindigkeit von c-v zu erwarten haben.
Denken wir uns einen Wind der Geschwindigkeit v=30km/h und wir stellen uns vor, dass wir mit der Geschwindigkeit u=20km/h gegen den Wind radeln. Dann trifft den Radler ein Gegenwind der Relativ-Geschwindigkeit v+u=50km/h, der extrem lästig ist.
Denken wir uns dagegen einen Wind der Geschwindigkeit v=30km/h und stellen uns vor, dass wir mit der Geschwindigkeit u=20km/h mit dem Wind radeln. Dann trifft den Radler ein Rückenwind der Relativ-Geschwindigkeit v-u=10km/h, den wir als Rücken-Wind genießen.
Die Überlegung von Galileo Galilei stimmt mit unserer Erfahrung von Geschwindigkeit völlig überein und ist für den Wind sicher richtig.
Das Michelson-Morley-Experiment 1881 und 1887 zeigten aber eindeutig, dass die Lichtgeschwindigkeit c beträgt, unabhängig davon, ob wir uns auf den Stern zubewegen oder uns von ihm entfernen, was den Überlegungen von Galileo Galilei eklatant widerspricht. 1905 vollzog Einstein einen radikalen Bruch mit der klassischen Physik und stellte die These auf dass, unabhängig vom Bezugssystem die Lichtgeschwindigkeit immer c beträgt. Maxwell hätte wahrscheinlich zähneknirschend Einstein recht gegeben, da er nur eine einzige Lichtgeschwindigkeit c ermitteln konnte, aber zu bedenken gegeben, dass dies jeglicher menschlicher Erfahrung widerspricht.
Einstein stellte fest, dass, wenn man die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ernst nimmt, man auf eine absolute Zeit verzichten muss und jedes Bezugssystem seine eigene Zeit haben muss, aber was ist überhaupt Zeit? Augustinus reflektiere 401 n.Chr über die Zeit und kam in seinen Confessiones zu dem bemerkenswerten Resultat: keine Ahnung! Diese Stelle sollte man unbedingt selbst lesen, denn keiner hat dieses Gefühl der Ratlosigkeit gegenüber der Zeit besser beschrieben und diese Ratlosigkeit ist zeitlos!
Das Resultat der einsteinschen Reflexion war ebenfalls: keine Ahnung! -- aber was auch immer Zeit ist, sie wird jedenfalls mit Uhren gemessen. Denken wir also über Uhren nach. Ein besonders geeigneter Uhren-Typ sind Licht-Uhren (Atom-Uhren), bei denen ein Photon zwischen zwei parallelen Spiegeln hin und her läuft.
Wenn an uns eine Licht-Uhr vorbei fliegt, sieht man sofort, dass sie langsamer gehen muss als eine ruhende Licht-Uhr von selber Bauart, da die Photonen in beiden Uhren unterschiedliche Wege zurücklegen müssen, die Lichtgeschwindigkeit jedoch dieselbe ist. Bewegte Uhren gehen langsamer!
Ein Photon läuft vom unteren Spiegel zum oberen Spiegel. Im Ruhe-System der Uhr verstreicht dann die Zeit Δt und damit ist der Abstand der Spiegel L=c·Δt. Nun betrachten wir eine bewegte Uhr gleicher Bauart. Wie lange dauert nun ein Übergang von einem Spiegel zum anderen? Wir nennen diese Zeit Δt'. Während dieser Zeit legt der Spiegel den Weg v·Δt' zurück. Mit dem Satz von Pythagoras können wir folgern c2(Δt')2-v2(Δt')2 = c2(Δt)2 und erhalten damit die Gleichung Δt=√1-(v/c)2·Δt' oder Δt'=Δt/√1-(v/c)2. Üblich sind die Abkürzungen β=v/c und γ=1/√1-β2. Damit können wir schreiben Δt'=γΔt. Es gilt immer γ≥1 und die Gleichheit gilt für v=0. Für v→c gilt γ→∞.
Die letzte Gleichung bringt quantitativ zum Ausdruck, dass bewegte Uhren langsamer gehen. Das System S' ist dabei das System in dem wir als ruhende Beobachter die bewegte Uhr betrachten während S das bewegte System ist, in dem die Uhr ruht.
Im System S ist eine ruhende Lichtschranke montiert. Das System S' bewegt sich relativ zu S mit der Geschwindigkeit v. In S' liegt ruhend ein Lineal der Länge L'. Wie lang dauert der Kontakt von Lineal und Lichtschranke im System S'? Natürlich Δt'=L'/v. Nun rechnen wir diese Zeit in das System S um. Es gilt Δt=Δt'√1-(v/c)2 für die Kontakt-Zeit. Damit berechnet sich die Länge des Lineals als L=v·Δt = v·L'/v√1-(v/c)2 = L'√1-(v/c)2. Da die Wurzel immer kleiner als Eins ist, erscheint das Lineal im System S verkürzt. Bewegte Lineale erscheinen also kürzer als ruhende Lineale. Quantitativ gilt also L = L'√1-(v/c)2=L'/γ.
Wir versehen beide Raumschiffe mit jeweils einem Kran der Leistung P, der eine Masse um die Höhe h hochzieht. Die Leistung eines Krans kann sicherlich nicht von dem Bezugssystem abhängen, denn sie ist nur von der Bauart des Motors abhängig. Daher gilt ΔW/Δt = ΔW'/Δt'. Nun ist aber Δt'>Δt und daher ΔW'>ΔW. Diese Ungleichung ist merkwürdig, da wir die selbe Hubhöhe h und denselben Orts-Faktor g in beiden Bezugssystemen haben. Wir können diese Ungleichung nur erklären, wenn die Masse des hochgezogenen Körpers vom Bezugssystem abhängt. Wir müssen daher zwischen m und m' unterscheiden. Wir können daher die Gleichung m'gh/Δt' = mgh/Δt aufstellen. Umstellen dieser Gleichung liefert m' = m·Δt'/Δt = m/√1-(v/c)2. Nun lassen wir alle Zwischenschritte aus und erhalten die Gleichung m' = m/√1-(v/c)2=γm wobei m die im Ruhe-System gemessene Ruhemasse ist und m' die Masse ist, die ein Zuschauer beobachtet, wenn er ein bewegtes Teilchen betrachtet. Schnelle Teilchen sind offenbar schwerer als ruhende Teilchen!
Wir können die letzte Gleichung quadrieren und mit c2 durchmultiplizieren und erhalten m'2c2-(m'v)2=m2c2. Nun ist aber m'v=p' der Impuls des Teilchens. Damit gilt m'2c2-p'2 = m2c2 = m"2c2-p"2. Damit können wir folgern (m"2-m'2)c2=p"2-p'2 und damit (m"+m')(m"-m')c2=(p"+p')(p"-p'). Wenn wir nun annehmen, dass sich m" und m' um ein kleines Δm'=m"-m' unterscheidet, gilt auch dass Δp'=p"-p' sehr klein ist. Dann können wir 2m'Δm'c2=2p'Δp' schreiben. Somit ergibt sich folgende Beziehung Δp'=m'Δm'c2/p'
Wir stellen uns nun vor, dass wir ein Teilchen der Ruhemasse m mit der konstanten Kraft F beschleunigen. Dadurch wir das Teilchen immer schneller, der Impuls wächst an und die Energie des Teilchens steigt. Nun berechnen wir die Arbeit W, die an dem Teilchen verrichtet wird. ΔW = FΔx=Δp'/Δt·Δx = v·Δp' = vm'Δm'c2/p'=Δm'c2. Damit ist der Energie-Zuwachs Ekin=Δm'c2. Wir sehen nun, dass jeder Energie-Zuwachs zum Massen-Zuwachs proportional ist und die Proportionalitäts-Konstante-Konstante c2 ist. Wenn aber jeder Massen-Zuwachs mit Energie verbunden ist, dann haben wir bei Teilchen in einem Kasten auch einen Massen-Zuwachs m gegenüber dem Vakuum. Es sollte also E0=mc2 gelten. Berechnen wir nun die Gesamtenergie, die sich aus Ruhe-Energie E0 und kinetischer Energie Ekin zusammensetzt: Eges=E0+Ekin = mc2+Δmc2 = (m+Δm)c2=m'c2. Damit haben wir die berühmte Einsteinsche Formel Eges=m'c2=γmc2 für die Energie-Masse-Äquivalenz gezeigt.
S sagt sich: die Strecke O'X' ist bei mir x-vt und bei S' ist sie x'. Ich sehe sie aber Lorentz-kontrahiert und damit gilt x'/γ=x-vt.
S' sagt sich: die Strecke OX ist bei mir x'+vt' und bei S ist sie x. Ich sehe sie aber Lorentz-kontrahiert und damit gilt x/γ=x'+vt'.
vt=x-x'/γ=γx'+vγt'-x'/γ=vγt'+(γ-1/γ)x'= vγt'+(γ2-1)/γx'=vγt'+γv2/c2x'= γv(t'+v/c2x')
vt'=x/γ-x'=x/γ-γx+γvt=γvt-(γ-1/γ)x= γvt-γv2/c2x=γv(t-v/c2x)
Damit können wir nun die Lorenz-Transformation hinschreiben: t'=γ(t-v/c2·x); x'=γ(x-v·t);
Die rückwärtige Lorentz-Transformation ist dann gegeben durch: t=γ(t'+v/c2·x'); x=γ(x'+v·t');
Im System S' bewege sich ein Teilchen mit der Geschwindigkeit u'. Das System bewege sich relativ zum System S mit der Geschwindigkeit v. Wir berechnen nun die Geschwindigkeit des Teilchens im System S und bezeichnen sie mit u'⊕v. Dazu benutzen wir die Lorentz-Transformation.
Im System S' lautet die Bewegungsgleichung des Teilchens x'=u'·t'. Im System S gilt dann: γ(x-vt)=u'γ(t-v/c2x) oder x-vt=u't-u'v/c2x. Nach dem Umstellen und Ausklammern erhalten wir x(1+u'v/c2)=(u'+v)t oder x/t=(u'+v)/(1+u'v/c2). Damit haben wir u'⊕v=(u'+v)/(1+u'·v/c2).
Wir berechnen nun c⊕v=(c+v)/(1+cv/c2)=(c+v)(1+v/c)=c(c+v)/(c+v)=c. Wenn sich ein Stern mit der Geschwindigkeit v relativ zu uns bewegt, erreicht uns sein Licht dennoch mit der Lichtgeschwindigkeit c.
Ein Stern sendet Licht der Schwingungsdauer T. Wenn der Stern relativ zu einem Beobachter B' ruht, empfängt der Beobachter Licht der Wellenlänge λ=cT. Bewegt sich der Stern dagegen mit der Relativ-Geschwindigkeit v auf den Beobachter B' zu, wird seine Wellenlänge verkürzt, da er während einer Schwingungsdauer T den Weg vT zurücklegt und dadurch die Wellenlänge um vT verkürzt. Wenn wir uns mit dieser Erklärung zufrieden geben, haben wir den klassischen Doppler-Effekt verstanden. Wenn wir tiefer denken, müssen wir berücksichtigen müssen, dass der Beobachter B' die Schwingungsdauer mit Zeit-Dilatation wahrnimmt. Beginnen wir also zu rechnen.
λ=cT-vT=(c-v)T=c(1-β)T=c(1-β)γT'=c/f'·(1-β)γ= λ'·(1-β)γ=λ'√(1-β)/(1+β)
Wenn ein Stern mit der Relativgeschwindigkeit β sich auf uns zu bewegt und die Wellenlänge λ emittiert, empfangen wir die Wellenlänge λ' und es gilt für die abgesendete Wellenlänge λ=λ'√(1-β)/(1+β). Wenn wir eine Linie λ (z.B. Hα) identifizieren können und mit unserem im Labor gemessenen λ' (für z.B. Hα) vergleichen, können wir die Geschwindigkeit β=v/c des Sterns relativ zu uns berechnen.