Wir wollen die Summe Q(n) der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen ermittel. Wir suchen also Q(n)=12+22+32+...+n2.
Dazu bilden wir das unten gezeigte dreieckige Zahlen-Schema. Man überlegt sich sofort, dass die Summe dieser Zahlen Q(n) ist.
n: n = 5 Q(5) = 55
Um eine explizite Formel zur Berechnung von Q(n) zu gewinnen, zeichnen wir unser Zahlen-Schema dreimal hin, um jeweils 120o verdreht hin und addieren die Schemata komponentenweise um das vierte Zahlen-Schema zu erhalten.
n: n = 5 Q(5) = 55
Man kann sich rasch davon überzeugen, dass das vierte Schema aus den Zahlen 2·n+1 besteht. Die Anzahl dieser Zahlen ist dann die Dreieckszahl D(n). Damit ist die Summe aller Zahlen des vierten Schemas die Zahl 1/2·n·(n+1)·(2n+1)=3·Q(n). Damit haben wir die gesuchte Darstellung gefunden: Q(n)=1/6·n·(n+1)·(2n+1).